魔法数学丨魔方与数学

翰仑魔法数学平阳路校区2021-01-11 09:32:15


魔方与数学:排列组合

 

魔方复原的困难,一方面在于其打乱后存在着大量的组合。组合的数量可以按照如下方式计算:8个角块可以互换位置,存在8!种组合,又可以翻转,每个角块可以具有3种空间位置,但因为不能单独翻转一个角块,需要除以3,总共存在8!×37种组合;12个棱块可以互换位置,得到12!,又可以翻转,得到212,但因为不能单独翻转一个棱块,也不能单独交换任意两个棱块的位置,需要分别除以2,得到12!×212/(2×2)种组合。联合起来,得到魔方的所有可能组合数为:

8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×1019

这是一个天文数字,如果某位玩家想要尝试所有的组合,哪怕不吃不喝不睡,每秒钟转出十种不同的组合,也要花上千亿年的时间才能如愿,这是当前宇宙年龄的约10倍。

 

实际上,如果将魔方拆开随意组合,其组合情况将多达5.19×1020种。也就是说,如果拆散魔方,再随意安装,有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散,安装时应按复原状态安装,否则极可能会无法复原。

 

魔方复原的另一个困难来自于我们只能安装特定的方式复原,即反复旋转某一面,一面上的9个方块必须整体参与运动,这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分,这种限制大大加大了复原魔方的难度。

 

魔方与数学:群

 

群论是数学中的一个重要分支,有着广泛的应用。理解群论是困难的,它是部分专业的研究生课程。不过,魔方这个大众化的玩具为理解群论提供了帮助。

 

首先,用小学生就已熟知的概念说明什么是群。考虑所有的整数以及加法运算,我们能发现如下几个简单的事实:任意两个整数相加所得结果仍然为整数;加法满足交 换律;任一整数与零相加为其本身;任一整数存在相反数并与其相加结果为零。这四条性质分别称为:封闭性;结合律;存在单位元(注:这里的元意为元素,该例 中单位元为整数中的零。);存在逆元。亦即群的定义为在某种操作下满足上述四个条件的元素的集合。本例中,整数在加法运算下构成一个群。

 

对魔方的所有独立操作也构成一个群,举一个最简单的例子,对魔方任意面的操作构成一个群,这个群包含四个元素:空操作,记为M0;顺时针旋转90°,记为M1;逆时针旋转90°,记为M-1;旋转180°,记为M2。群运算为任意两个操作的联合操作,例如M1M2,意思为先对魔方某面顺时针旋转90°,再旋转180°。很容易证明这四个元素满足上述四个条件:封闭性、单位元(即M0)、逆元(M1 与M-1互为逆元,M0与 M2的逆元是其本身)都是显然的;对结合律,明显有M1 (M-1M2)= M1 M1= M2,而 (M1 M-1)M2= M0 M2= M2。

 

对魔方的所有操作,情况复杂一些,但同样可以证明他们构成一个群。

 

引入群论的一个重要作用在于群论在研究对称性方面的突出优点,考虑魔方的对称性,我们马上发现前面所说的4.33×1019种组合含有极大的水分,他们中有很多其实是完全相同的,只不过是从不同的角度去看而已。考虑了对称性,魔方的实际组合数马上减少到上述数字的1/96。这对魔方的研究提供了极大的帮助。

 
上帝数字

 

很显然,任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原,那么,问题来了,是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N?也即,如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原,这个N具体为多少?这个数字N被成为上帝数字,从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。

 

寻找上帝数字最直接的办法是对魔方所有的组合情况,对其进行复原并得到所有的最少转动次数N,所有的N中最大的一个便是我们要寻找的上帝数字。但是,如前所述,即使考虑了对称性,魔方的组合情况依然是个天文数字,即使今天,利用世界排名第一的超级计算机,对其进行计算也不现实。

 

但这难不倒天才的数学家,上帝数字的值从1982年提出时估计的17~52之间,范围逐渐缩小,去年,一个研究团队在Google提供的计算资源支持下,最终证明上帝数字为20。也就是说,对任意的魔方,我们都可以用20次或者更少的转动将其还原。这听起来很不可思议,但已经被众多的魔方玩家所证实。

 

当然,对任意的魔方,寻找最少的转动步骤是极其困难的,需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的,还是利用本文前面所述的复原办法,只需学习记忆少量的套路或公式,如CFOP法,需要学习记忆119个公式,平均只需55次转动便可复原魔方。

数学是一门充满魅力的学科,在它复杂表面的背后,隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具,往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律;而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。




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