【组合配置系列】金融市场中的统计模型和方法(二)

fofpower2020-10-15 16:52:28


前言

在云通原创的组合配置系列中,我们展示的BL模型、风险平价模型、金融市场中的统计模型和方法等等都是最受欢迎的文章。大家可以点击上方蓝色字体关注我们,并在后台回复下图左侧关键字,获取这些文章。


今天我们继续追溯资产配置的数学原理,同样来源于Meucci(2005)所著《风险资产配置》,在第一话我们介绍了一元随机变量的简单概念,本文将进阶到多元随机变量,主要内容有:

1. 多元分布:定义与刻画形式(多元概率密度函数、累计分布函数),性质与一元随机变量相似

2. 分布的因式分解:分解成多个一元随机变量的分布以及他们的链接分布,维度骤降

3. Copulas(连接函数):Copula函数在金融资产收益率之间的相依性分析以及金融风险管理等方面得到了广泛的应用,但是此概念比较难理解,本文只做提纲挈领般归纳总结,想要学习更加细致的内容,可以参考云通之前的文章专门学习这一概念:

戳链接:【重磅原创】Copula与基金业绩联合分布预测



二、多元随机变量统计



01

多元分布的定义


它是多个随机变量构成的联合分布。当我们的投资组合中涉及多个标的时,我们就要考虑这多个随机变量的联动效果,而并非简单几何加总。


02

多元分布的刻画形式


(1)概率密度函数;(2)累计分布函数(通常用高维积分表示);(3)特征函数。

和一元的情形类似,多元分布也有以上三种刻画形式,观察下图可以看到,如果说一元概率密度函数是平面上的一条曲线,那么多元分布其实是空间中的无限多条曲线所构成的曲面。


03

性质


类似于一元随机变量。


04

分布的因式分解


对于一个多元随机变量X可以分解为两个独立的成分:成分1:每个随机变量的边际分布,它纯粹代表了单个变量的特征;成分2:归纳联合成分的标准分布。


(1)边际分布


边际分布又叫边缘分布,假设在空间中多元概率密度函数是立体的,那么投影到其中一个变量上的图像就是平面的。举个简单的例子:对于一个任意大小(n*n)的概率矩阵X,每一个元素表示一个概率,对于其中任一行或任一列求和,得到的概率就是边际概率。用公式表达即:


(2)Copulas函数(连接函数)


1、 为什么要引入连接函数?主要思想是什么?

由于传统的联合分布是二维正态分布、二维t分布等,这些联合分布函数只能适用于变量服从同样分布特征的情况,然而实际变量大多数并非服从相同的分布特征。例如股票A收益率服从自由度为4的t分布,股票收益率B服从自由度为5的t分布。如此以来,传统的二维t分布无法精确刻画这两个收益率序列之间的联合分布特征。Copulas理论通过分别用不同的分布函数刻画不同的数据特征,然后通过连接函数将两个变量的累积分布连接起来,最终刻画出变量的联合分布特征。

2、 定义: Copula函数描述的是变量间的相关性,实际上是一类将联合分布函数与它们各自的边缘分布函数连接在一起的函数,因此也有人将它称为连接函数。


Copulas它代表的是一个随机变量真正的内部依赖结构,我们的应用就是市场。换句话来说,它是一个标准范式,刻画了多元分布的纯联合部分的特征,即把所有的一维特征给过滤掉。为了分解出边际成分,需要做一个变换,假设U是我们选择的一个分布,把每个随机变量Xnn变化成Unn,因为每个Unn都已近标准化了,我们无法知道每个Xnn具体的边际分布。

定义一个新的随机变量Un,称为X的得分

FX为累积分布函数。假设值在[0,1],可以证明U在此区间是均匀分布的。U~U(0,1)。为了获得我们选择的分布Z

它为多元随机变量X得分的联合分布。可以证明:copulas的联合概率密度函数为:

累积分布函数


3、应用:Copula之所以能受到统计学者的青睐主要有以下两个原因:第一个是Copula是一种研究相依性测度的方法;第二个是Copula作为构造二维分布族的起点,可用于多元模型分布和随机模拟。Copula函数作为一种变量之间相依机制的工具,几乎包含了随机变量所有的相依信息,在不能决定传统的线性相关系数能否正确度量变量之间的相关关系的情况下,Copula函数对变量之间相关关系的分析很有用,Copula函数的出现使变量之间的相依性刻画更加趋于完善。自从Copula方法被提出来后,Copula函数在金融资产收益率之间的相依性分析以及金融风险、金融风险管理等方面得到了广泛的应用

例子:高斯Copula函数(https://wenku.baidu.com/view/0fad3d4187c24028915fc3a1.html

1. 假设我们想在不服从正态分布的两个随机变量之V1V2之间定义一种相关结构

2. 我们把两个随机变量之V1V2分别映射到U1U2上,U1U2均服从标准正态分布

3. 这种映射为分位数与分位数之间的一一映射,假定U1U2的分布为联合正态分布

V1U1的映射


V2U2的映射


当Copula相关系数等于0.5时,M(-0.84,-1.41,0.5)=0.043,M是二元正态分布。


小结


Copula这一概念比较难理解,本文只做提纲挈领般归纳总结,想要学习更加细致的内容,可以参考云通之前的文章专门学习Copula:

戳链接:【重磅原创】Copula与基金业绩联合分布预测


在本文的最后,云通还想再多讲一点,有些小伙伴反映说看完整篇数学、统计词汇,仍然不明觉厉。文章短短,浓缩的其实是无数前人的智慧,例如皮卡德定理当初在证明的时候,数学家写了一百多页纸的证明,经过后人几个世纪的消化理解,终成一页“构造式证明”,随便就是一道数学系考题。

类似这样的情形,对于看不懂的数字符号、公式定理,云通建议多看几遍,所谓“读书百遍,其义自见”,待这些看懂之后,就能化为已有的工具,去帮助自己解决更难的问题,不断循环沉淀,到那个时候,你再回头看此文,一定觉得简单到爆炸……

很多关于数学的事物,当你深入理解之后会看到思想上的结晶,这是一种思维的美感,类似于音乐、绘画和文学的模式。从来不会有人抱怨音乐、绘画、文学难懂,就算他不懂和弦、明暗线条、象征手法,但他依然能看能读并乐在其中。从这个角度来说,云通能带给大家的就是数理与统计之美,即使到最后:

你什么也没有,只有思想。


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